unidad III- Anualidades

ANUALIDADES

La anualidad se emplea para indicar el sistema de pago de sumas fijas a intervalos iguales.
En finanzas, anualidad no significa pagos anuales sino pagos a intervalos iguales.
Se consideran anualidades los dividendos sobre acciones, los fondos de amortización, los pagos a plazos, los pagos periódicos de las compañías de seguro, los sueldos y todo tipo de rentas.
CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES
Los factores financieros que intervienen en las anualidades y sus formas de pago determinan diferentes tipos de anualidades. A fin de llevar a cabo un estudio organizado, es necesario elaborar una clasificación y dar su correspondiente definición.
Renta: El valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta.
Periodo de Pago o Periodo de la renta: El tiempo fijado entre dos pagos sucesivos es el periodo de pago o periodo de la renta.
Tiempo o Plazo de una Anualidad: El intervalo que transcurre entre el comienzo del primer periodo de pago y el final del último es el tiempo o plazo de una anualidad.
Renta Anual: La suma de los pagos hechos en un año corresponde a la renta anual.
Tasa de una Anualidad: El tipo de interés fijado es la tasa de anualidad puede ser nominal o efectiva.
Según el tiempo, las anualidades se agrupan en dos clases: Anualidades Ciertas y Anualidades Eventuales o contingentes. Anualidades Ciertas son aquellas cuyas fechas inicial y terminal se conocen por estar estipuladas en forma concreta. Anualidades Contingentes son aquellas en las que el primer pago o el último, es decir, la fecha inicial y/o la fecha final depende de algún suceso previsible, pero cuya fecha de realización no puede fijarse.
Anualidades Perpetuas o Perpetuidades: Éstas son una variación de las anualidades ciertas, en las que la duración del pago es, en teoría, ilimitada.
Según la forma como se estipule el pago de la renta o anualidad, se originan las Anualidades Ordinarias o Vencidas y las Anualidades Anticipadas. Una anualidad es ordinaria o vencida si el pago de la renta se hace al final del período de pago. Es anticipada, si el pago se efectúa al principio del período de pago.
Anualidades Inmediatas: Éstas son aquellas cuyo primer pago se efectúa al iniciar o terminar el primer período.
Anualidades Diferidas: Éstas son aquellas en las que se estipula que el primer pago debe efectuarse después de transcurrido cierto número de períodos.
ANUALIDADES CIERTAS
Ordinarias o Vencidas Anticipadas
Inmediatas Inmediatas
Diferidas Diferidas
Perpetuas Inmediatas Perpetuas Inmediatas
Perpetuas Diferidas Perpetuas Diferidas
ANUALIDADES EVENTUALES O CONTINGENTES
Ordinarias o Vencidas Anticipadas
Inmediatas Inmediatas
Diferidas Diferidas
Perpetuas Inmediatas Perpetuas Inmediatas
Perpetuas Diferidas Perpetuas Diferidas
Cada una de las distintas formas de anualidades presenta variantes en la forma de calcular sus valores, según el número de pagos en el año y número de períodos de capitalizaciones anuales que estipule el tipo de interés.
Anualidades Simples: se definen como aquellas cuyo período de pago coincide con el período de capitalización.
VALOR DE LAS ANUALIDADES
El valor de la anualidad calculado a su terminación es el valor futuro de ésta. El valor de la anualidad calculado al comienzo es su valor presente. Estos valores pueden, también, calcularse en fechas intermedias; en tal caso, se refieren a valor futuro de la parte vencida o valor presente de las anualidades por vencer. Así, por ejemplo, una renta de Bs. 2000 pagaderos cada final de año durante 6 años, tendrá valor futuro F al finalizar los 6 años, y tendrá un valor presente P, en su fecha inicial.
P F
1 2 3 4 5 6
0
2000 2000 2000 2000 2000 2000

Parte Vencida Fecha Intermedia Parte por Vencer
Transcurridos 2 años se tiene una fecha intermedia que separa la parte vencida de la anualidad, de la parte por vencer, tal como se muestra en la gráfica.
SÍMBOLOS UTILIZADOS PARA LAS ANUALIDADES
A = Pago periódico de una anualidad o renta.
ie = Tasa efectiva por periodo de capitalización.
i = Tasa nominal anual.
f = Número de capitalizaciones en el año.
if = Tasa nominal con m periodos de capitalizaciones en el año.
n = Número de periodos de pago.
F = Monto de una anualidad o su valor futuro.
P = Valor actual o presente de una anualidad.
Cálculo del valor futuro: Los pagos A efectuados al final de cada periodo ganan interés compuesto, hasta la fecha final. Estableciendo la ecuación de equivalencia para la fecha final como fecha focal, se tiene, entonces: F
0 1 2 3 n – 1 n periodos
...

A A A A A A A A
Cada pago efectuado al final del periodo capitaliza los intereses en cada uno de los siguientes periodos. El primer acumula durante (n –1) periodos, el segundo (n – 2) periodos y, así, sucesivamente hasta el último pago que no obtiene intereses, ya que coincide con la fecha de término.
A, A (1+i), A (1+i)², …A (1+i) ֿ² + A (1+i) ˉ¹.
El valor futuro total F de la anualidad es igual a la suma de los valores futuros producidos por las distintas rentas A, o sea:
F = A + A (1+i) + A (1+i)² + … + A (1+i) ֿ² + A (1+i) ˉ¹.
Los términos del segundo miembro forman una progresión geométrica de n términos, razón (1 + i) y primer término A. Al aplicar la fórmula de la suma dada, se tiene:
S = a(rn - 1) ; F = A[(1+i)n -1]
r-1 (1+i) –1

F = A[(1+i)n -1]
i
Cálculo del valor presente: El valor presente de una anualidad es aquella cantidad P de dinero con sus intereses compuestos que, en el tiempo de la anualidad, proporcionará un valor futuro equivalente al de la anualidad.
Al formar la ecuación de equivalencia y utilizar como fecha focal la fecha final, se tiene:
P F

1 2 n - 2 n - 1 n periodos
...

A A A A
P (1+i)n = F
P (1+i)n = A [(1+i)n -1]
i
P = A [(1+i)n -1] (1+i)-n
i
P = A[ 1 - (1+i)-n]
i
Ejemplo 1: Hallar el valor futuro y el valor presente de una anualidad de Bs. 5000, pagadera semenestralmente durante 7 años 6 meses al 8,6%, capitalizable semestralmente.
A = 5000;
i =0,086; frecuencia = 2; lo que implica que: i = 0,086/2 = 0,043;
n = 7,5 años x (2) = 15 semestres
Calculo del valor Futuro:
F = 5000 [(1+0,043)15 - 1]
0,043
Se calcula primero (1,043) = 1,8804623 (función x15 )
F = 5000 [(1,8804623) - 1]
0,043
F = Bs. 102.379,34 (valor futuro de la anualidad)

Cálculo del valor presente:
P= 5.000 [1-(1+0,043)-15 ] =
0,043

P= 54.443.70 (Valor Presente de la Anualidad, valor del contrato)

CAPITALIZACIÓN
Capitalización es la operación contable mediante la cual se reactualiza el valor presente de una inversión.

COSTOS CAPITALIZADOS
El costo capitalizado de un activo es la suma de su costo original más el valor presente de la renta necesaria para las renovaciones futuras para lo cual es necesario establecer la vida útil del activo medida en períodos de capitalización de las inversiones. O sea:
K = C + P
K = Costo Capitalizado.
C = Costo Original del Activo.
P = Valor Presente de la Renta Perpetua necesaria para su renovación.
K = C + W
(1+ i) - 1
Sí el costo inicial C y el Costo de Reposición W son iguales, se tiene:
K = C (1+ i)
(1+ i) - 1
Ejemplo:
1) Hallar el costo capitalizado de una maquinaria adquirida en el año 2000, a un costo de Bs. 8.000.000 de Bolívares y una vida útil de 5 años, si al final debe reemplazarse al mismo costo inicial. Estimar la tasa efectiva de interés al 26%.

K = 8.000.000 (1+ 0,26)
(1+ 0,26) - 1
K = 11.676.819,07
Si la maquinaria al final de los cinco años tiene un valor de salvamento; entonces, el costo de reposición (W) es igual al costo inicial (C) menos el valor de salvamento.
Ejemplo 2:
Si a la maquinaria se le estima un valor de salvamento del 15% al final de su vida útil su costo capitalizado (K) aplicamos la fórmula:
K = C + W
(1+ i) - 1
Donde:
C = Costo Inicial = 8.000.000
W = 8.000.000 – 8.000.000 (0,15) = 6.800.000
n = 15 años
TI = 26%
K = 8.000.000 + 6.800.000
(1+ 0,26) - 1
K = 11.125.291,65


COSTOS EQUIVALENTES
Se refieren a aquellos activos que alcanzan el mismo costo de capitalización (K), aún cuando sus vidas útiles, costos iniciales y de reposición son diferentes.
O sea: K1 = K 2
Esta relación es útil para analizar el costo a pagar por un artículo que prestando el mismo servicio, tenga otras condiciones.
Ejemplo:
Si un equipo tiene un costo inicial de Bs. 10.000.000 y una vida útil de 10 años. ¿Cuánto puede pagarse por un equipo similar con 8 años de vida útil y un costo de reposición igual al costo inicial, si la tasa efectiva es del 6%?.
K1 = K2
C1 (1+ i) = C2 (1 + i)
(1+ i) - 1 (1 + i) - 1




EJERCICIOS SOBRE ANUALIDADES

1.- Calcular el valor acumulado de una anualidad simple ordinaria colocada al 17.29% anual durante 7 años si el pago periódico es de Bs.: 3.000,oo anualmente
R: 35.633,96
2.-Calcular el valor acumulado de:
a) 500 Bs. mensuales durante 4 años y tres meses colocados al 10% anual de interés compuesto mensualmente
b) 800 Bs. trimestrales durante 6 años y tres meses al 14% anual con capitalización trimestral
c) 100 Bs. cada semestre durante 10 años al 12,23%de interés compuesto semestralmente
R: a) 31.613,95 b)31.420,22 c) 37.243,60
3.- Lucy deposita 100 Bs cada tres meses en una cuenta del Banco Provincial que paga intereses trimestrales del 6%. Si hace su primer depósito el 1 de julio de 2006, calcular el saldo de su cuenta justo antes de que haga el depósito de enero de 2009
Respuersta:1.186,33 Bs.
4) Una persona quiere acumular 200.000 Bs. en una fondo de retiro. Si hizo el primer depósito el 1 de marzo de 1998 y planea hacer el último depósito el 1 de Septiembre del 2009. Calcular la cantidad de cada depósito si los realiza:
a) semestrales en una cuenta que paga 12,5% anual con capitalización semestral
b) mensuales en una cuenta que paga 12,5% con capitalización mensual.

R: a) 165,56 Bs. b) 195,18 Bs.